微积分里的两个重要极限指什么

（一）微积分里的两个重要极限指什么

微积分里的两个重要极限指：

1、如果当x从点x等于x0的左侧无限趋近于x0时，函数无限趋近于常数a，就说a是函数在点处的左极限。

2、如果当x从点x等于x0右侧无限趋近于点x0时，函数无限趋近于常数a，就说a是函数在点处的右极限。

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值。

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、

（二）微积分和极限数有什么关系

1、导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分;

2、积分是微分的逆运算,即知道了导函数，求原函数。

（三）官方双语微积分的本质

1、两种重要的、针对函数的运算：求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。先说求导。对于函数 f(x) ，它的导函数 （即求导运算的结果，简称导数）记作 f′(x) 。简单来说，f′(x0) 就是f(x) 在 x0 这点的切线斜率。即， f′(x) 是 f(x) 的切线斜率关于切点横坐标的函数。

为了方便描述，引入一个表示「微小变化量」（自己起的名字）的符号。以后默认用 dx 表示变量 x 的变化量（ dy 表示变量 y 的变化量，以此类推），且 dx 趋近于 0 。那么对于 x0 和它的函数值 f(x)=y ，设当 x 增加了 dx 时 y 增加了 dy 。由于这个变化量是「微小」（趋近于 0 ）的，所以 x 和 x+dx 之间的函数图象可以近似成一条直线，它的斜率就是 dydx 。因此，有时也把导函数写成 f′(x)=dydx 。

注意，不同的 x 会造成 dy 取不同的值。有点懵？先从最简单的例子，一次函数说起。显然，无论 x 如何改变，也无论 dx 取何值（哪怕不趋近于 0 ） ，dydx 都是一个定值，即这个一次函数的斜率 k （换句话说，这个一次函数处处的切线都与它本身重合）。因此，一次函数的导数是一个常函数 f′(x)=k 。

再举一个稍复杂的例子。对于 f(x)=x2 ，可以这样求出它的导函数：f′(x)=dydx=f(x+dx)?f(x)dx=(x+dx)2?x2dx=2dx?x+dx2dx=2x+dx由于 dx 趋近于 0 ，所以 f′(x)=2x 。于是我们成功算出了 f(x)=x2 的导数是 f′(x)=2x 。不妨再拓展一下，证明 f(x)=xk 的导数是 f′(x)=kxk?1 。做法和刚才类似（其中用了一次二项式定理）：f′(x0)=f(x0+dx)?f(x0)dx=(x0+dx)k?xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk?i?xk0dx=∑k?1i=0Cikxi0dxk?idx=∑i=0k?1Cikxi0dxk?i?1。

到这里似乎不知道怎么办了？别忘了 dx 趋近于 0 ，所以只有 k?i?1=0 即 i=k?1 这一项是非 0 的！激动.jpg 。所以，f′(x0)=kxk?10 。x0 是任意的，所以 f′(x)=kxk?1 。

2、导数的加减：h(x)=f(x)+g(x),h′(x)=f′(x)+g′(x)。设 yf=f(x) ，yg=g(x) ，yh=h(x) （类似的记号下面不再赘述） ，同时别忘了 f′(x)=dyfdx ， g′(x)=dygdx ，则有：∵yh=yf+yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)+(yg+dyg)∴dyh=dyf+dyg=f′(x)dx+g′(x)dx=(f′(x)+g′(x))dx两边同时除以 dx ，得到 h′(x)=dyhdx=f′(x)+g′(x) 。

3、导数的乘法：h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)口诀：「左乘右导，右乘左导」证明如下：∵yh=yf?yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)?(yg+dyg)∴dyh=yf?yg+yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg?yh=yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg=f(x)?g′(x)dx+g(x)?f′(x)dx+f′(x)dx?g′(x)dx两边同时除以 dx 得：h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)+f′(x)g′(x)dx同样，带 dx 的项趋近于 0 ，因此 h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x) 。

4、链式法则：若 h(x)=f(g(x)) ，则 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。当自变量从 x0 变成 x0+dx ，则 yf 的变化量是 f′(x0)dx 。现在，g 的自变量的变化量是 dx ，yg 的变化量是 g′(x)dx ，所以 yf 的变化量是 f′(g(x))?g′(x)dx （注意 f 的自变量的初值是 g(x) 不是 x ）。因此 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。

5、导数的除法：若 h(x)=f(x)g(x) ，则 h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

6、证明：∵yh=yfyg,(yh+dyh)=yf+dyfyg+dyg∴dyh=yf+dyfyg+dyg?yfyg=yg(yf+dyf)?yf(yg+dyg)yg(yg+dyg)=g(x)f(x)+g(x)f′(x)dx?f(x)g(x)?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx=g(x)f′(x)dx?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx。两边同时除以 x ，得到：h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2+g(x)g′(x)dx，由于 dx 趋于 0 ，所以：h′(x)=g(x、f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

（四）关于牛顿微积分

牛顿微积分又称为牛顿-莱布尼茨公式。微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为"流数术"。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿前已经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的结论加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。定义与公式：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且 b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 。

（五）经管类微积分跟高等数学有何区别

经管类微积分跟高等数学的区别：高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学、几何学、以及他们之间交叉所形成的一门基础学科。而微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科。

高等数学：指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。